Сумма первых четырех членов геометриче­ ской прогрессии равна 120. Известно, что ее второй, третий и четвертый члены различны и являются соответственно пер­ вым, пятым и седьмым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии и первый член арифметической прогрессии.

Решение:

Пусть (аn) — арифметическая прогрессия с разностью d, а (bn) — геометрическая прогрессия со знаменателем q. Тогда по условию имеем:

Использовав формулы n-го члена арифметиче­ской и n-го члена геометрической прогрессий, получим систе­му уравнений

Заменив в 3-м и 4-м уравнениях а1 на b1q и выразив из них d, получим

Приравняв правые части двух последних равенств, полу­чим новое уравнение, обе части которого можно разделить на b1q/2 После чего имеем:

Решив это уравнение, получим

Поскольку по условию члены геометрической прогрессии различны , то q = 1/2.
Из первого уравнения системы (1) находим

Из второго уравнения системы (1) находим:

Ответ: b= 64; а= 32.